組み合わせが何通りあるかってすぐわかるとかっこいいですよね〜。
計算が早いのって優秀に映るわよね。
でも組合せについては、考え方を理解したらわりとかんたんよ。
じゃあ、50人の男性のなかから3人を選んで結婚できる組み合わせって何通りですか？
重婚は犯罪だから0通りよ。
こんにちは、Yunです！
仕事をするなかで「数学的思考ができればもっと仕事がはかどるのに」「これって何通りあるんだろう」と感じることはありませんか？
そんな悩みをお持ちの方に、こちらの記事では仕事に役立つ「場合の数」について解説します！
この記事を読めば、順列や組合せが仕事に役立つ具体例がわかります！
丸テーブルに6人が座る着席方法は全部で何通りか
会議室の丸テーブルに6人が座るとき、着席方法は全部で何通りあるのでしょうか。
このような「…は何通りあるか」について考える問題を、場合の数の問題と言います。仕事においては、起こりうるパターンの総数がどれくらいを素早く把握することが適切な意思決定につながる場面があります。
丸テーブルに座るのは会議とか、打ち上げとかでもありそうな場面です。
円順列の計算方法
上記のような、円になって6人が並ぶときの並び方は以下のように計算します。くわしい解説は記事の後半でおこなうので、いったんこういう数式になる、ということを知っておいてください。
\((6 – 1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120通り\)
この問題では、120通りの着席方法があります。
「思ったよりも多いな」と感じられるかもしれません。場合の数の計算方法がわかれば、ものごとの起こり方が何通りになるかについて暗算でもおおよそのイメージをつかめるようになります。
場合の数とはなにか
場合の数とは、ものの個数や、あることがらが起こる場合を数えた値のことで、ふつう「○個ある」「○通りある」などと表します。
仕事であることが起こる場合の数を求めるときに、思いつくままに任せて列挙するのではもれや重複が起こるおそれがあります。
もれや重複がないかを視覚的に判断しやすいのは樹形図を描くことですが、あつかう数が多い場合には図を書くのではなく、公式を用いた計算を使うほうが便利です。
仕事で役立つ樹形図
ある喫茶店で、軽食のサンドイッチがA・B・Cの3種類と、それにセットできる飲み物がD・Eの2種類販売されています。それぞれから1種類ずつ選ぶとき、その選び方を樹形図で表すことができます。
画像のように樹形図で表すと、サンドイッチの選びかたが3通りあり、ドリンクの選び方はそれぞれに2通りあるので、以下の式で計算できることが明らかです。
\(3 \times 2 = 6通り\)
このようにことがらAの起こり方がｍ通りあり、ことがらBの起こり方がn通りあって、それぞれのAに対してBがともに起こるときの場合の数は\(m \times n\)通りで表すことができます。
樹形図では手間がかかりすぎる場合も多い
今回のサンドイッチとドリンクの例は樹形図で表しましたが、サンドイッチ5種にドリンク10種となると樹形図を描くのはかなりの手間になります。
そのため、場合の数の計算についてはさまざまな公式を活用するのがふつうです。
ただし、樹形図は場合の数の基本であり、視覚的にも確かめやすいので重要です。公式の意味が理解できなかったら、樹形図にたちもどってみましょう。
順列とはなにか
順列（Permutation）とは、いくつかのものを順序を考えに入れて並べたもののことを言います。
n個の異なるものから、r個を取り出して並べた順列を「n個のものからr個とった順列」といい、その総数を\({}_n P_r\)で表します。
順列が仕事で役立つ例
あなたがある2つの投資商品に500万円を投資する場合について考えてみましょう。
均等に投資するのではなく、もっとも有望な投資先に300万円、有望度で劣るほうに200万円を投資したいと考えています。証券会社からは6つの投資商品の提案を受けました。あなたがそこから2つ選んで投資する際に、パターンはいくつあるでしょうか。
これは順列の問題です。2つの投資商品への資金の配分が均等ではないとき、選択の順序が重要になります。
たとえば、商品Aに300万円、商品Bに200万円を投資する場合と、商品Aに200万円、商品Bに300万円を投資する場合とは同じではありません。そのため、先に300万円を投資する商品を決めたあと、のこりの候補のうちから200万円を投資する商品を決める、という順序が重要になります。
「6つの商品から2つとったときの順列」を式にすると以下のとおりです。
\({}_6 \mathrm{P}_2 = 6 \times 5 = 30\,通り\)
今回の場合、あなたに与えられている投資選択の選択肢は30種類あることになります。
隣り合う順列の計算方法
横一列の座席配置を決めるときに、上司2名は隣り合うようにして、4人の部下はランダムに並べたいときのことを考えてみましょう。
上司の間にはさまれるのはつらいから、固まっといてほしいです！
これも各人の順序が関係するので順列を使います。そして、このように隣り合う順列では隣り合う人間をひとまとめのものだと考えます。そうすると、上司のまとまりと部下4人を並べる順列の問題ととらえなおすことができます。
上司のまとまりと部下4人の並び方の総数は以下とおりです。
\(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120通り\)
つぎに、上司2人の並び方を計算します。
\(2! = 2 \times 1 = 2通り\)
120通りに対して2通りがあることになるので、6人のうち上司2名は隣り合うようにした並び方は240通りです。
\(120 \times 2 = 240通り\)
隣り合わない順列の計算方法
横一列の座席で、社員4人のあいだに内定者3人を配置する場合を考えてみましょう。
この場合、まず社員4人の並べ替えの総数を求めます。
\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24通り\)
つぎに、内定者3人が入る場所を決めます。選べるのは最大3か所です。1人目は3つから選べ、2人目は2つから、3人目は1つから選ぶので、以下の式になります。
\(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6通り\)
24通りの社員の並び方に対してそれぞれ6通りの内定者の並び方があります。したがって、
\(24 \times 6 = 144通り\)
となります。
円順列の求め方
記事の冒頭にあげたような、会議室の丸テーブルに6人が座るときの着席方法について考えてみましょう。
席そのものに区別がないとき、Aの左隣がB、その左隣がC…と上の図と同じであるなら、Aがどこに座っていたとしてもそれは同じ座席配置だと考えることができます。
つまり、考えるべきは誰かひとりを固定したときののこりの5名の順列です。イメージとしては円の「ひも」を切って横一列に並べたようなものになります。
このとき、6人のうちAは固定されているので式は以下のようになります。
\((6 – 1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120通り\)
このように、n個の異なるものを円形にならべたときの順列は
\((n – 1)!\)
となります。
円を一列に並べるなんて気づきませんでした！
同じものを含む順列の求め方
a, b, b, yの4文字の並べ替え方は何通りあるでしょうか。まっさきに「baby」が思い浮かびますが、「abby」「yabb」などもあるわけです。このときのポイントは、「b」が2つ含まれていることです。
このような列を「同じものを含む順列」と呼びます。
ふつうの4個をあつかう順列で計算すると、2つのbをb(1), b(2)と区別していることになります。しかしこれは正しい発想ではありません。なぜならbは同じものであり、区別をつけたぶん不要なだぶりが生じていることになります。
\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \, 通り？\)
どれくらいだぶっているかというと、b(1)とb（2）で分けて考えたときのb1個ぶん多くなっています。つまり、すべてを異なるものと考えたときの「4!」を「2!」（b1個ぶんの順列）で割れば、だぶりのない正しい結果が得られます。
\(\dfrac{4!}{2! \cdot 1! \cdot 1!} = 12 \, 通り\)
このように、p個、q個、r個、…がそれぞれ同じものであるとき、これらn個のものを1列に並べる場合の数は以下の公式で表します。
\(\dfrac{n!}{p! \cdot q! \cdot r!}\)
このとき、\(p + q + r + … = n\,\)です。
重複順列の求め方
たとえば、0~9の数字を3つ組み合わせるダイヤル錠があるとき、鍵を回して並べた数字は何通りあるのでしょうか。このとき、たとえば1, 2, 3を使うにしても「123」「321」「132」はそれぞれ異なる数字なので、順序が重要になります。つまりこれは順列の問題です。
暗証番号は順番が大事ですよね。
ただし、これまでの順列の問題と異なり、ダイヤル錠の場合は「111」「112」など同じ数字を何度も使うことができます。このように重複することが許される順列を「重複順列」と呼びます。
この問題では、百の位は0~9の10通り、十の位も10通り、一の位も10通りあります。ふつうの順列では一度使った数字は使えませんが、今回は重複が許されるので同じ数字が使えるのです。結果、3桁のダイヤル錠の数字のパターンは\(\,10 \times 10 \times 10\,\)で1000通りあることになります。
異なるn種のものからr個とった重複順列は以下の式で表すことができます。
\(n^r\)
組合せとはなにか
組合せ（Combination）とは、並べる順序を考慮せずに取り出した1組のことをいいます。
また、n個の異なるものから、r個を取り出してつくった組合せを「n個のものからr個とった組合せ」といいます。
ちなみに、この語は日常の言葉としては「組み合わせ」と表記されますが、数学用語として使うときは「組合せ」とするのが一般的です。
n個のものからr個とった組合せは以下のように表します。
\({}_n \mathrm{C}_r\)
また\({}_n \mathrm{C}_r\,\)の計算は以下のようになります
\(\dfrac{{}_n \mathrm{P}_r}{r!} = \dfrac{n!}{r!(n – r)}\)
組合せが仕事に役立つ例
あなたが証券会社の営業担当から5種類の投資商品リストを紹介され、そこから2つの商品を選んで投資する場合を考えてみましょう。各商品には均等に100万円ずつ投資する予定です。このとき、2つの商品の組合せの何通りでしょうか。
今回の問題では、資金を均等に配分するため、各商品を選ぶ順序は問われません。商品ABを選ぶことと商品BAを選ぶことは等価であると考えます。
異なる5つのA, B, C, D, Eから2つを選ぶ組合せは、以下のように書き表すことができます。
| AA | AA | AA | AA | AA |
| AB | ||||
| AC | BC | |||
| AD | BD | CD | ||
| AE | BE | CE | DE |
これは、以下の図の緑マス部分と重複する白マス部分をのぞいたかたちです。
| AA | BA | CA | DA | EA |
| AB | BB | CB | DB | EB |
| AC | BC | CC | DC | EC |
| AD | BD | CD | DD | ED |
| AE | BE | CE | DE | EE |
上の図はA〜Eの5つから2つとる順列の\({}_5 \mathrm{P}_2\,\)のうち、「2つとる」という行為の順列「2!」のぶんだけだぶりが生じていることを表しています。
AAとかBBはそもそも2つ選べてないから消されてるんですね！
全体のマスからだぶりぶんを割ったものが求めたい結果となります。
つまり、5つの商品から2つを選ぶ組合せは以下のように計算することができます。
\({}_5 \mathrm{C}_2 = \dfrac{{}_5 \mathrm{P}_2}{2!} = \dfrac{5!}{2!\cdot(5 – 2)!} = \dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\,通り\)
重複組合せの求め方
異なるn種のものからくり返しを許してr個取り出す組合せを「n個のものからr個とる重複組合せ」といいます。これは以下のように表します。
\({}_{n + r – 1}\mathrm{C}_r\)
仕事で役立つ重複組合せの例
ある学生を、知識、思考力、態度の3つの観点でそれぞれABC評価をする場合を考えてみましょう。また、この観点ごとの価値に差はなく、Aが3つあるものがもっとも優秀でCが3つのものがもっとも劣っているものとします。
このとき、3つの観点ですべて優れていれば「AAA」となりますし、観点ごとの得意不得意で「AAC」「BAC」などの評価もありえます。優秀さを表すのは「Aがいくつあるか」であり、記号の順序は問題ではありません。つまりこれは、重複が許された組合せです。
BBAとABBは同じ評価になるってことか〜。だぶりを消すのは組合せですね。
これは、丸を3つと仕切り棒を2つ用意して、１本目の仕切り棒の左側をA、1本目と2本目のあいだをB、2本目の右側をCとするイメージをもつと理解しやすくなります。
これは、丸3つと棒2つの計5つのものを並べる順列をあつかうのと同じことです。また、丸が3種類、棒が2種類あるので順列のなかでも「同じものを含む順列」になります。
同じものを含む順列では、p個、q個、r個、…がそれぞれ同じものであるとき、これらn個のものを1列に並べる場合の数を以下の公式で表します。
\(\dfrac{n!}{p! \cdot q! \cdot r!}\)
今回の成績の問題に当てはめると以下のとおりです。
\(\dfrac{5!}{3! \cdot 2!} ={}_5\mathrm{C}_2 = \dfrac{5 \times 4}{2 \times 1}= 10\,通り\)
順列と組合せを用いる場合の違い
仕事に場合の数を活用したいと思ったときに、それが順列をつかうものか組合せをつかうものかが悩ましいと感じられるかと思います。
以下に、順列と組合せを用いる基準と活用例をまとめます。
| 順列 | 組合せ | |
|---|---|---|
| 基準 | 順序が問題になる | 順序は問わない |
| 例① | 野球チームのキャプテン、ピッチャー、キャッチャーを決めるとき | ある集団からチームに入れるメンバーを決めるとき |
| 例② | 成績の1位、2位、3位を決めるとき | ある3名とほかのメンバーを区別するとき |
| 例③ | 企業の部長、課長、係長を決める時 | ある企業から3名を選ぶとき |
上記のとおり、順序が問題になるときに順列を用いるのですが、「順序」という言葉でイメージしづらければ「ポジション」や「役割」と言い換えてもいいかもしれません。とにかく、ある順序（ポジション、役割）は別の順序とは異なるものであるという点が重要です。
たとえば、以下の問題で考えてみましょう。
10人をAグループとBグループに分けるときの分け方
10人をAグループとBグループの2つのグループに分けるときの分け方は、重複順列を用いて以下のように計算します。
\(2^10 = 1024\,通り\)
ただしこれは、どちらかの部屋が0人になってもいい場合です。どちらの部屋も最低1名はいないといけないとするなら、「Aの部屋が0名の場合」と「Bの部屋が0名の場合」の2つを引くので1022通りとなります。
このときに順列を用いているのは、「ABBA…」と「AABB…」は異なる分け方だからです（左から1人目、2人目、3人目…とみてください）。また、重複順列をつかうのは「AAAA…」のようにどの部屋を選ぶかは10人のなかで重複が許されるからです。
10人から3人選ぶときの組合せ
同じくグループ分けといえる行為でも、10人から3人を選ぶことは「組合せ」の範ちゅうです。なぜなら、「ABC」と選んでも「CAB」と選んでもグループの構成員は同じだからです。
式では、以下のように表します。
\({}_{10}\mathrm{C}_3\ = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2\times 1}=120\,通り\)
数学的思考がビジネスに役立つ
いま自分が知りたいことに順列を用いるべきか組合せを用いるべきかを判断する力は、ものごとを論理的に思考する力を伸ばします。
場合の数を判断する力は仕事だけでなく日常のさまざまな場面で役立ちます。まずは公式のあつかい方を覚え、かんたんな例題から考え方に慣れていくのがおすすめです。
